వృత్తసంఖ్యను ఎలా తెలుసుకోవటం?
ఉదాహరణకు స్రగ్విణీవృత్తాన్ని తీసుకుందాం.
ఈ స్రగ్విణీ వృత్తానికి గణాలు ర-ర-ర-ర అనేవి. అంటే ఈస్రగ్విణీ వృత్తంలో ప్రతిపాదంలోనూ వరుసగా నాలుగు రగణాలు ఉంటాయన్న మాట
ఈ‌గణ విభజనను గురులఘువులుగా క్రమంగా వ్రాస్తే UIU UIU UIU UIU అవుతున్నది.
అంటే స్రగ్విణీ వృత్తంలో గురులఘువుల అమరిక UIUUIUUIUUIU అని సిధ్ధిస్తోంది.
ఇక్కడ గురులఘువుల క్రమంలో పన్నెండు స్థానాలున్నాయి కాబట్టి ఇది 12వ ఛందస్సులోని వృత్తం అని తెలుసుకోవాలి. ఐతే ఆ 12వ ఛందస్సులో నిజానికి 4096 వృత్తాలుంటాయి. ఒక క్రమంలో వాటిని అమరిస్తే ఇది ఆ వరుసలో ఎన్నవది అన్నది ప్రశ్న అన్నమాట.
సమాధానం తెలుసుకుందుకు ప్రయత్నం చేద్దాం. దీనికి ఒక పధ్ధతి ఉండనే ఉన్నది. వివరిస్తాను.
ఇప్పుడు మనం ఒక పని చేయాలి గురువు ఉన్న చోట 0 అనే అంకెనూ లఘువు ఉన్నచోట 1 అనే అంకెను ఈ గురులఘుక్రమంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
అలా చేయగా మనకు 010010010010 అనే క్రమం వస్తున్నది.
మనం సాధారణంగా దశాంశమానంలో సంఖ్యలను వ్రాస్తాం. అంటే మన దైనందిన వ్యవహారంలో వ్రాసే సంఖ్యల్లో 0 నుండి 9 వరకూ అంకెల్ని వాడుతాం. కుడి నుండి ఎడమకు ప్రతి స్థానం విలువ పది రెట్లుగా ఉంటుంది.
అదే యుగ్మాంకమానంలో 0, 1 అనే అంకెల్ని మాత్రం వాడి సంఖ్యల్ని వ్రాస్తారు. కుడి నుండి ఎడమకు ప్రతి స్థానం విలువ రెట్టింపుగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు 010010010010 అనే యుగ్మాంకసంఖ్య విలువను లెక్కించాలి కదా.
కుడి నుండి ఎడమకు అంకెలు నిలువుగా వ్రాద్దాం. మొదటిస్థానం విలువ 0 లేదా 1. రెండవస్థానం విలువ 0 లేదా 2. మూడవస్థానం విలువ 0 లేదా 4. ఇలా లెక్కపెట్టాలి. సున్నలను కూడనవసరం లేదు కాబట్టి వాటిని లెక్కలో చూపనవసరం లేదు. మొట్టమొదటిస్థానం యొక్క స్థానసంఖ్యను 0 అని గుర్తుంచుకోండి. ఇప్పుడు నిలువుగా స్థానాలనూ, ఆ స్థానాల్లో ఉన్న అంకెలనూ వేయండి. ఎదురుగా వాటి విలువలను వేయండి. స్థానం n లో ఉన్నది 1 ఐతే ఎదురుగా 2 యొక్క n ఘాతం విలువ వేయండి.
0 0
1 1 = 2
2 0
3 0
4 1 = 16
5 0
6 0
7 1 = 128
8 0
9 0
10 1 = 1024
11 0
ఇప్పుడు మొత్తం అన్ని స్థానాల విలువలనూ కూడితే వచ్చే సంఖ్య 1024 + 128 + 16 + 2 = 1170.
ఇప్పుడు ఈ కి 1 కలపండి. మనకు వృత్తసంఖ్య వస్తుంది. అంటే‌మనకు కావలసిన వృత్తసంఖ్య 1170+1 = 1171 అన్నమాట.
దీన్ని బట్టి స్ర్వగ్విణీ వృత్తం 12వ ఛందస్సులో 1171 వ వృత్తం అన్నమాట.
చాలా మందికి ఒక ఇబ్బంది కలుగుతుంది.2 యొక్క ఘాతాల విలువలను అనేకం భట్టీయం వేసి గుర్తుపెట్టుకోవటం కష్టం అన్న భావన దానికి కారణం. పైగా ఛందస్సులు మొత్తం 26. అందుచేత 2 యొక్క 26వఘాతం అంటే 226 విలువ ఎంతో తెలుసునా? అది 67108864. ఆ విలువదాకా అనేకం గుర్తుపెట్టుకోవటం అంత సులభం కూడా కాదు. ఐతే దీనికి ఒక ఉపాయం లేకపోలేదు.
అది కొందరి దృష్టిలో పిల్లికి బిడాలం అన్నట్లుగా ఉండవచ్చును మొదట. కాని ప్రయత్నించి చూడండి. అంత కష్టం కాదని తెలుస్తుంది.
ఈ పధ్ధతి ఏమిటంటే సంఖ్యను యుగ్మాంకవిధానం బదులుగా అష్టాంకవిధానంలో వ్రాయటమే. యుగ్మాంకవిధానంలో 0,1 మాత్రమే వాడితే 0,1,2,3,4,5,6,7 వాడుతాం.
యుగ్మాంకవిధానంలో మూడుస్థానాల సంఖ్యను అష్టాంకవిధానంలో అంకెగా మార్చటానికి చిన్నపట్టిక గుర్తుపెట్టుకోండి. సరిపోతుంది
000 -> 0
001 -> 1
010 -> 2
011 -> 3
100 -> 4
101 -> 5
110 -> 6
111 -> 7
ఈ స్రగ్విణీవృత్తానికి గురులఘువుల క్రమానికి యుగ్మాంక సంఖ్య 010010010010 అని వచ్చింది కదా. దీనిని 010 010 010 010 అని వ్రాయండి. ఇది అష్టాంకవిధానంలో 2222 అవుతుంది. ఈ అష్టాంకవిధాన సంఖ్య 2222ను మనం నిత్యం ఉపయోగించే సాధారణ దశాంశవిధానపు సంఖ్యగా మార్చటానికి పధ్ధతిని ప్రాక్టికల్‌గా చూపుతున్నాను.
2222 చేతిలో ఉన్న అష్టాంక సంఖ్య
4 ఎడమవైపు ఉన్న అంకెను రెట్టించి ఒకస్థానం కుడివైపు జరిపి వేయండి
----
182 తీసివేత జరపండి (22 - 4 = 18).
ఇప్పుడు ఇంకొక స్థానం కుడిగా ఉన్న అష్టాంక అంకె 2ను సమాధానానికి కుడిగా జతపరచండి.
36 కొత్త అంకె జతపరచటానికి ముందు ఉన్న సంఖ్యను రెట్టించి వేయండి.
---- ఇందాకటి వలె తీసివేత జరపండి (182 - 16 = 146).
మరొక స్థానం కుడిగా ఉన్న అష్టాంక అంకె 2ను సమాధానానికి కుడిగా జతపరచండి.
1462
292 కొత్త అంకె జతపరచటానికి ముందు ఉన్న సంఖ్యను రెట్టించి వేయండి.
---- ఇందాకటి వలె తీసివేత జరపండి (1462-292 = 1170).
ఇంక దించుకుందుకు ఇచ్చిన అష్టాంకసంఖ్యలో కుడివైపున అంకెలు లేవు కదా!
1170 ఇంక చేయటానికి ఏమీ లేదు కాబట్టి,
ఇదే మనకు అష్టాంగ సంఖ్య 2222ను దశాంకవిధానంలో మార్చగా వచ్చే ఫలితం.
ఈ పధ్ధతిలో సౌలభ్యం ఏమిటో గమనించారు కదా, 2 యొక్క ఘాతాలను గుర్తుపెట్టుకోవలసిన పని లేదు.
ఇప్పుడు మరొక సంగతి. గురులఘు క్రమం తెలిస్తే అది ఎన్నవ ఛందస్సో, ఆ ఛందస్సులో అది ఎన్నవ వృత్తమో ఎలాగు చెప్పవచ్చునో ఇంతవరకూ తెలుసుకున్నాం వివరంగా.
కాని ఫలానా ఛందస్సులో ఫలానా నెంబరు వృత్తానికి గురులఘువుల క్రమం ఏమిటీ అని ఎవరన్నా అడిగారనుకోండి. అదెలా తెలుసుకోవటం?
ఇది కూడా తెలుసుకోదగ్గ విషయమే కాబట్టి ఈ విధానం కూడా నేర్చుకుందాం.
ఇప్పుడు మనని 12వ ఛందస్సులో 1171వ వృత్తానికి గణవిభజన ఏమిటీ అని ప్రశ్న వేసారు అనుకుందాం.
ఏ ఛందస్సులో ఐనా సరే సర్వగురువులు ఉన్న వృత్తం యొక్క సంఖ్య 1. ఇచ్చిన స్థానాలలో సంఖ్యామానం 0 నుండి మొదలు అవుతుంది కదా. అందుచేత 1171వ వృత్తం 0 నుండి లెక్క వేస్తే 1170వది అవుతుంది.
ఇచ్చిన వృత్త సంఖ్య 1171.
చేతిలో ఉన్న సంఖ్య బేసి సంఖ్య ఐతే గురువు U అని వ్రాయండి, ఇప్పుడు సంఖ్యకు 1 కలిపి సగం చేయండి.
సరిసంఖ్య ఐతే లఘువు I అని వ్రాయండి. ఇప్పుడు సంఖ్యను సగం చేయండి.
ఇలా ఇచ్చిన ఛందస్సుకు సరిపడే వరకూ చేయండి.
1171 U 1171+1 = 1172 1172/2 = 586
586 I 586/2 = 293
293 U 293+1 = 294 294/2 = 147
147 U 147+1 = 148 148/2 = 74
74 I 74/2 = 37
37 U 37+1 = 38 38/2 = 19
19 U 19+1 = 20 20/2 = 10
10 I 10/2 = 5
5 U 5+1 = 6 6/2 = 3
3 U 3+1 = 4 4/2 = 2
2 I 2/2 = 1
1 U 1+1 = 2 2/2 = 1
మనం 12వ ఛందస్సుకు పని చేస్తున్నాం కాబట్టి 12 గురులఘువులు వచ్చేదాకా ఇలా చేయాలి.
ఇలా వచ్చే గురులఘువులలో మొట్టమొదట కుడివైపున చివరి స్థానం వస్తుంది. చివరగా సిధ్ధించినది అన్నింటిలోనూ ఎడమవైపున ఉండేది అన్నమాట. అంటే మనకు వచ్చిన క్రమాన్ని విలోమంగా వ్రాయాలి! మరచిపోకండి.
ఈ విధంగా 1171వ వృత్త సంఖ్యకు సరిపడే గురులఘువుల ప్రస్తారం UIU UIU UIU UIU అని తేలుతున్నది.
9వ ఛందస్సులో 29 = 512 వృత్తాలుంటాయి.
10వ ఛందస్సులో 210 = 1024 వృత్తాలుంటాయి.
11వ ఛందస్సులో 211 = 2048 వృత్తాలుంటాయి.
12వ ఛందస్సులో 212 = 4096 వృత్తాలుంటాయి.
13వ ఛందస్సులో 213 = 8192 వృత్తాలుంటాయి.
ఇలా Nవ ఛందస్సులో 2N వృత్తాలుంటాయి.
10వ ఛందస్సులో కేవలం1024 వృత్తాలు మాత్రమే ఉంటాయి కాబట్టి, 10 లేదా అంతకన్నా చిన్న ఛందస్సులలో 1171వ వృత్తం అంటూ ఉండదు.
అందుచేత 11వ ఛందస్సు నుండి అన్ని ఛందస్సుల్లోనూ కూడా 1171వ వృత్తం అంటూ ఒకటి ఉండనే ఉంటుంది.
ముఖ్యంగా గమనించవలసిన విషయం ఒకటి ఏమిటంటే ఒ వృత్తం ఏ ఛందస్సులో ఉన్నా సరే దాని గురులఘువుల క్రమం కుడివైపు నుండి ఒకే మాదిరిగా ఉంటుంది. ఆపైన ఎడమవైపున వరుసగా అవసరమైన గురువులు వస్తాయన్న మాట.
నిజానికి కవులెవ్వరికీ ఇది ఫలానా ఛందస్సులో ఎన్నవ వృత్తమా అన్న ప్రశ్న పట్టదు. అలాగా ఫలాని ఛందస్సులో ఫలాని సంఖ్యగల వృత్తానికి గురులఘువుల క్రమం ఏమిటీ అన్న ప్రశ్నా పట్టదు. ఇది కేవలం తెలుసుకుందుకు మాత్రమే అనుకోండి. ఒకరకంగా పనికిమాలిన పరిజ్ఞానం అన్నమాట. కాని ఆసక్తికరం ఐనది.
ఇక్కడ ఈ బ్లాగులో ఈ‌వ్యవహారానికి ఒక ప్రయోజనం ఉంది. మనం వృత్తాలను సాంకేతికంగా కూడా గుర్తించి చూపటానికి ప్రయత్నిస్తున్నాం. మాటవరసకి ఈ స్రగ్విణీవృత్తాన్ని తీసుకొంటే దీన్ని మనం అని 12:1171 అని చూపుతాం.
ఇదంతా గందరగోళంగా ఉందనుకొనే వారు మరి కొద్ది సార్లు చదివి అర్ధం చేసుకుందుకు ప్రయత్నించండి. అవసరమైన పక్షంలో నన్ను మీ సందేహాలు అడగండి.
ఉదాహరణకు స్రగ్విణీవృత్తాన్ని తీసుకుందాం.
ఈ స్రగ్విణీ వృత్తానికి గణాలు ర-ర-ర-ర అనేవి. అంటే ఈస్రగ్విణీ వృత్తంలో ప్రతిపాదంలోనూ వరుసగా నాలుగు రగణాలు ఉంటాయన్న మాట
ఈ‌గణ విభజనను గురులఘువులుగా క్రమంగా వ్రాస్తే UIU UIU UIU UIU అవుతున్నది.
అంటే స్రగ్విణీ వృత్తంలో గురులఘువుల అమరిక UIUUIUUIUUIU అని సిధ్ధిస్తోంది.
ఇక్కడ గురులఘువుల క్రమంలో పన్నెండు స్థానాలున్నాయి కాబట్టి ఇది 12వ ఛందస్సులోని వృత్తం అని తెలుసుకోవాలి. ఐతే ఆ 12వ ఛందస్సులో నిజానికి 4096 వృత్తాలుంటాయి. ఒక క్రమంలో వాటిని అమరిస్తే ఇది ఆ వరుసలో ఎన్నవది అన్నది ప్రశ్న అన్నమాట.
సమాధానం తెలుసుకుందుకు ప్రయత్నం చేద్దాం. దీనికి ఒక పధ్ధతి ఉండనే ఉన్నది. వివరిస్తాను.
ఇప్పుడు మనం ఒక పని చేయాలి గురువు ఉన్న చోట 0 అనే అంకెనూ లఘువు ఉన్నచోట 1 అనే అంకెను ఈ గురులఘుక్రమంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
అలా చేయగా మనకు 010010010010 అనే క్రమం వస్తున్నది.
మనం సాధారణంగా దశాంశమానంలో సంఖ్యలను వ్రాస్తాం. అంటే మన దైనందిన వ్యవహారంలో వ్రాసే సంఖ్యల్లో 0 నుండి 9 వరకూ అంకెల్ని వాడుతాం. కుడి నుండి ఎడమకు ప్రతి స్థానం విలువ పది రెట్లుగా ఉంటుంది.
అదే యుగ్మాంకమానంలో 0, 1 అనే అంకెల్ని మాత్రం వాడి సంఖ్యల్ని వ్రాస్తారు. కుడి నుండి ఎడమకు ప్రతి స్థానం విలువ రెట్టింపుగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు 010010010010 అనే యుగ్మాంకసంఖ్య విలువను లెక్కించాలి కదా.
కుడి నుండి ఎడమకు అంకెలు నిలువుగా వ్రాద్దాం. మొదటిస్థానం విలువ 0 లేదా 1. రెండవస్థానం విలువ 0 లేదా 2. మూడవస్థానం విలువ 0 లేదా 4. ఇలా లెక్కపెట్టాలి. సున్నలను కూడనవసరం లేదు కాబట్టి వాటిని లెక్కలో చూపనవసరం లేదు. మొట్టమొదటిస్థానం యొక్క స్థానసంఖ్యను 0 అని గుర్తుంచుకోండి. ఇప్పుడు నిలువుగా స్థానాలనూ, ఆ స్థానాల్లో ఉన్న అంకెలనూ వేయండి. ఎదురుగా వాటి విలువలను వేయండి. స్థానం n లో ఉన్నది 1 ఐతే ఎదురుగా 2 యొక్క n ఘాతం విలువ వేయండి.
0 0
1 1 = 2
2 0
3 0
4 1 = 16
5 0
6 0
7 1 = 128
8 0
9 0
10 1 = 1024
11 0
ఇప్పుడు మొత్తం అన్ని స్థానాల విలువలనూ కూడితే వచ్చే సంఖ్య 1024 + 128 + 16 + 2 = 1170.
ఇప్పుడు ఈ కి 1 కలపండి. మనకు వృత్తసంఖ్య వస్తుంది. అంటే‌మనకు కావలసిన వృత్తసంఖ్య 1170+1 = 1171 అన్నమాట.
దీన్ని బట్టి స్ర్వగ్విణీ వృత్తం 12వ ఛందస్సులో 1171 వ వృత్తం అన్నమాట.
చాలా మందికి ఒక ఇబ్బంది కలుగుతుంది.2 యొక్క ఘాతాల విలువలను అనేకం భట్టీయం వేసి గుర్తుపెట్టుకోవటం కష్టం అన్న భావన దానికి కారణం. పైగా ఛందస్సులు మొత్తం 26. అందుచేత 2 యొక్క 26వఘాతం అంటే 226 విలువ ఎంతో తెలుసునా? అది 67108864. ఆ విలువదాకా అనేకం గుర్తుపెట్టుకోవటం అంత సులభం కూడా కాదు. ఐతే దీనికి ఒక ఉపాయం లేకపోలేదు.
అది కొందరి దృష్టిలో పిల్లికి బిడాలం అన్నట్లుగా ఉండవచ్చును మొదట. కాని ప్రయత్నించి చూడండి. అంత కష్టం కాదని తెలుస్తుంది.
ఈ పధ్ధతి ఏమిటంటే సంఖ్యను యుగ్మాంకవిధానం బదులుగా అష్టాంకవిధానంలో వ్రాయటమే. యుగ్మాంకవిధానంలో 0,1 మాత్రమే వాడితే 0,1,2,3,4,5,6,7 వాడుతాం.
యుగ్మాంకవిధానంలో మూడుస్థానాల సంఖ్యను అష్టాంకవిధానంలో అంకెగా మార్చటానికి చిన్నపట్టిక గుర్తుపెట్టుకోండి. సరిపోతుంది
000 -> 0
001 -> 1
010 -> 2
011 -> 3
100 -> 4
101 -> 5
110 -> 6
111 -> 7
ఈ స్రగ్విణీవృత్తానికి గురులఘువుల క్రమానికి యుగ్మాంక సంఖ్య 010010010010 అని వచ్చింది కదా. దీనిని 010 010 010 010 అని వ్రాయండి. ఇది అష్టాంకవిధానంలో 2222 అవుతుంది. ఈ అష్టాంకవిధాన సంఖ్య 2222ను మనం నిత్యం ఉపయోగించే సాధారణ దశాంశవిధానపు సంఖ్యగా మార్చటానికి పధ్ధతిని ప్రాక్టికల్‌గా చూపుతున్నాను.
2222 చేతిలో ఉన్న అష్టాంక సంఖ్య
4 ఎడమవైపు ఉన్న అంకెను రెట్టించి ఒకస్థానం కుడివైపు జరిపి వేయండి
----
182 తీసివేత జరపండి (22 - 4 = 18).
ఇప్పుడు ఇంకొక స్థానం కుడిగా ఉన్న అష్టాంక అంకె 2ను సమాధానానికి కుడిగా జతపరచండి.
36 కొత్త అంకె జతపరచటానికి ముందు ఉన్న సంఖ్యను రెట్టించి వేయండి.
---- ఇందాకటి వలె తీసివేత జరపండి (182 - 16 = 146).
మరొక స్థానం కుడిగా ఉన్న అష్టాంక అంకె 2ను సమాధానానికి కుడిగా జతపరచండి.
1462
292 కొత్త అంకె జతపరచటానికి ముందు ఉన్న సంఖ్యను రెట్టించి వేయండి.
---- ఇందాకటి వలె తీసివేత జరపండి (1462-292 = 1170).
ఇంక దించుకుందుకు ఇచ్చిన అష్టాంకసంఖ్యలో కుడివైపున అంకెలు లేవు కదా!
1170 ఇంక చేయటానికి ఏమీ లేదు కాబట్టి,
ఇదే మనకు అష్టాంగ సంఖ్య 2222ను దశాంకవిధానంలో మార్చగా వచ్చే ఫలితం.
ఈ పధ్ధతిలో సౌలభ్యం ఏమిటో గమనించారు కదా, 2 యొక్క ఘాతాలను గుర్తుపెట్టుకోవలసిన పని లేదు.
ఇప్పుడు మరొక సంగతి. గురులఘు క్రమం తెలిస్తే అది ఎన్నవ ఛందస్సో, ఆ ఛందస్సులో అది ఎన్నవ వృత్తమో ఎలాగు చెప్పవచ్చునో ఇంతవరకూ తెలుసుకున్నాం వివరంగా.
కాని ఫలానా ఛందస్సులో ఫలానా నెంబరు వృత్తానికి గురులఘువుల క్రమం ఏమిటీ అని ఎవరన్నా అడిగారనుకోండి. అదెలా తెలుసుకోవటం?
ఇది కూడా తెలుసుకోదగ్గ విషయమే కాబట్టి ఈ విధానం కూడా నేర్చుకుందాం.
ఇప్పుడు మనని 12వ ఛందస్సులో 1171వ వృత్తానికి గణవిభజన ఏమిటీ అని ప్రశ్న వేసారు అనుకుందాం.
ఏ ఛందస్సులో ఐనా సరే సర్వగురువులు ఉన్న వృత్తం యొక్క సంఖ్య 1. ఇచ్చిన స్థానాలలో సంఖ్యామానం 0 నుండి మొదలు అవుతుంది కదా. అందుచేత 1171వ వృత్తం 0 నుండి లెక్క వేస్తే 1170వది అవుతుంది.
ఇచ్చిన వృత్త సంఖ్య 1171.
చేతిలో ఉన్న సంఖ్య బేసి సంఖ్య ఐతే గురువు U అని వ్రాయండి, ఇప్పుడు సంఖ్యకు 1 కలిపి సగం చేయండి.
సరిసంఖ్య ఐతే లఘువు I అని వ్రాయండి. ఇప్పుడు సంఖ్యను సగం చేయండి.
ఇలా ఇచ్చిన ఛందస్సుకు సరిపడే వరకూ చేయండి.
1171 U 1171+1 = 1172 1172/2 = 586
586 I 586/2 = 293
293 U 293+1 = 294 294/2 = 147
147 U 147+1 = 148 148/2 = 74
74 I 74/2 = 37
37 U 37+1 = 38 38/2 = 19
19 U 19+1 = 20 20/2 = 10
10 I 10/2 = 5
5 U 5+1 = 6 6/2 = 3
3 U 3+1 = 4 4/2 = 2
2 I 2/2 = 1
1 U 1+1 = 2 2/2 = 1
మనం 12వ ఛందస్సుకు పని చేస్తున్నాం కాబట్టి 12 గురులఘువులు వచ్చేదాకా ఇలా చేయాలి.
ఇలా వచ్చే గురులఘువులలో మొట్టమొదట కుడివైపున చివరి స్థానం వస్తుంది. చివరగా సిధ్ధించినది అన్నింటిలోనూ ఎడమవైపున ఉండేది అన్నమాట. అంటే మనకు వచ్చిన క్రమాన్ని విలోమంగా వ్రాయాలి! మరచిపోకండి.
ఈ విధంగా 1171వ వృత్త సంఖ్యకు సరిపడే గురులఘువుల ప్రస్తారం UIU UIU UIU UIU అని తేలుతున్నది.
9వ ఛందస్సులో 29 = 512 వృత్తాలుంటాయి.
10వ ఛందస్సులో 210 = 1024 వృత్తాలుంటాయి.
11వ ఛందస్సులో 211 = 2048 వృత్తాలుంటాయి.
12వ ఛందస్సులో 212 = 4096 వృత్తాలుంటాయి.
13వ ఛందస్సులో 213 = 8192 వృత్తాలుంటాయి.
ఇలా Nవ ఛందస్సులో 2N వృత్తాలుంటాయి.
10వ ఛందస్సులో కేవలం1024 వృత్తాలు మాత్రమే ఉంటాయి కాబట్టి, 10 లేదా అంతకన్నా చిన్న ఛందస్సులలో 1171వ వృత్తం అంటూ ఉండదు.
అందుచేత 11వ ఛందస్సు నుండి అన్ని ఛందస్సుల్లోనూ కూడా 1171వ వృత్తం అంటూ ఒకటి ఉండనే ఉంటుంది.
ముఖ్యంగా గమనించవలసిన విషయం ఒకటి ఏమిటంటే ఒ వృత్తం ఏ ఛందస్సులో ఉన్నా సరే దాని గురులఘువుల క్రమం కుడివైపు నుండి ఒకే మాదిరిగా ఉంటుంది. ఆపైన ఎడమవైపున వరుసగా అవసరమైన గురువులు వస్తాయన్న మాట.
నిజానికి కవులెవ్వరికీ ఇది ఫలానా ఛందస్సులో ఎన్నవ వృత్తమా అన్న ప్రశ్న పట్టదు. అలాగా ఫలాని ఛందస్సులో ఫలాని సంఖ్యగల వృత్తానికి గురులఘువుల క్రమం ఏమిటీ అన్న ప్రశ్నా పట్టదు. ఇది కేవలం తెలుసుకుందుకు మాత్రమే అనుకోండి. ఒకరకంగా పనికిమాలిన పరిజ్ఞానం అన్నమాట. కాని ఆసక్తికరం ఐనది.
ఇక్కడ ఈ బ్లాగులో ఈ‌వ్యవహారానికి ఒక ప్రయోజనం ఉంది. మనం వృత్తాలను సాంకేతికంగా కూడా గుర్తించి చూపటానికి ప్రయత్నిస్తున్నాం. మాటవరసకి ఈ స్రగ్విణీవృత్తాన్ని తీసుకొంటే దీన్ని మనం అని 12:1171 అని చూపుతాం.
ఇదంతా గందరగోళంగా ఉందనుకొనే వారు మరి కొద్ది సార్లు చదివి అర్ధం చేసుకుందుకు ప్రయత్నించండి. అవసరమైన పక్షంలో నన్ను మీ సందేహాలు అడగండి.
కామెంట్‌లు లేవు:
కామెంట్‌ను పోస్ట్ చేయండి